ENG FR

Introduction au programme de recherche

Quelle structure minimale permet le calcul quantique ?

Je cartographie la terra incognita quantique-classique : les modèles de calcul intermédiaires entre la simulation classique efficace et le calcul quantique universel. J’étudie les plus petites modifications des interactions, de la composition et de l’espace des paramètres, dans l’espoir de déterminer comment elles peuvent faire passer les modèles de calcul d’un régime à l’autre.

Une présentation simplifiée place le calcul classique d’un côté d’une frontière et le calcul quantique tolérant aux fautes de l’autre. De nombreux modèles structurés et bruités se situent entre ces cas limites.

La représentation attendue, où les régions classique et quantique sont séparées par une seule frontière courbe en pointillés. — **Une représentation simplifiée :** une seule frontière séparant le calcul classique du calcul quantique.

Logique des états fondamentaux et modèles minimaux

Après mes études de premier cycle, j’ai rejoint D-Wave. Geordie Rose y a posé le problème consistant à trouver le modèle d’interactions minimal capable de calcul quantique universel par état fondamental. L’entreprise développait déjà du matériel fondé sur le modèle d’Ising à champ transverse. Les résultats de Barahona avaient établi la difficulté computationnelle de trouver les états fondamentaux de classes importantes de verres de spin d’Ising classiques. [48]

L’idée d’optimisation issue du recuit simulé et physique a reçu une formulation quantique avec le recuit quantique et le calcul quantique adiabatique. Kadowaki et Nishimori ont étudié le recuit quantique dans le modèle d’Ising à champ transverse. Farhi, Goldstone, Gutmann et Sipser ont ensuite formulé un modèle de calcul adiabatique qui interpole entre un hamiltonien initial et un hamiltonien final de problème dont l’état fondamental encode une solution. Pour les problèmes booléens, cet hamiltonien final est diagonal et peut être écrit en variables d’Ising, de sorte que la spécification du problème constitue la partie programmable du modèle. Childs, Farhi et Preskill ont ensuite analysé les conditions dans lesquelles le calcul adiabatique demeure robuste face à des erreurs de contrôle et à une décohérence spécifiées. Ensemble, ces résultats ont fait du point d’arrivée d’Ising programmable une cible structurelle concrète : quelle logique booléenne son espace fondamental peut-il exprimer, et quelle extension minimale conduit le modèle au calcul quantique universel par état fondamental ? [32–34]

Nous avons étudié cette question comme un problème structurel exact. Quels ensembles de chaînes de bits peuvent constituer les états fondamentaux d’un hamiltonien d’Ising, et comment ces ensembles se composent-ils ? Les spans d’états fondamentaux obtenus portent un calcul logique : les contraintes peuvent être composées, les circuits logiques peuvent être incorporés, et le problème inverse peut être abordé en construisant un hamiltonien d’Ising dont les minima correspondent à un ensemble prescrit de chaînes de bits. [13, 14, 21]

Idée clé : même un modèle entièrement classique peut contenir de nombreuses solutions mutuellement exclusives dans son espace d’états fondamentaux. Il s’agit d’une structure logique, et non d’une superposition quantique.

Le versant quantique exigeait des interactions non commutatives. Avec Peter Love, j’ai utilisé les états d’histoire de Feynman–Kitaev pour démontrer la QMA-complétude de deux familles restreintes d’hamiltoniens 2-locaux, comportant des termes X/Z 1-locaux et des couplages XX/ZZ ou ZX/XZ 2-locaux. Des gadgets perturbatifs relient ces types d’interactions. Le prix de l’universalité est une horloge et un état d’histoire plutôt qu’une configuration de sortie statique unique. [1, 15]

Les énoncés techniques ci-dessus et leur portée sont précisés dans les articles cités.

Familles classiques et quantiques de réseaux de tenseurs

Le 1^er juin 2007, pendant un séjour prolongé dans le groupe d’Alán Aspuru-Guzik à Harvard, j’ai présenté dans la série de séminaires de l’Oxford Computing Laboratory des travaux ensuite publiés dans les articles sur l’incorporation de problèmes booléens dans les espaces fondamentaux d’Ising et sur des familles restreintes d’hamiltoniens pour le calcul quantique adiabatique universel. [1, 13, 45] J’ai commencé mon doctorat à Oxford en octobre de la même année, sous la direction de Samson Abramsky et Bob Coecke. Pendant le doctorat, j’ai étendu la construction antérieure fondée sur les états fondamentaux aux réseaux de tenseurs, passant d’espaces engendrés par des configurations booléennes à des états tensoriels individuels formés comme superpositions.

Les travaux sur les réseaux de tenseurs sont partis d’une question connexe : si des tenseurs logiques sont traités comme des éléments compositionnels, quelle partie d’un espace tensoriel quantique peuvent-ils exprimer ? Cette question s’inscrit dans une histoire établie qui comprend le calcul tensoriel graphique de Penrose, le groupe de renormalisation par matrice densité de White, le cadre des états à corrélations finies de Fannes, Nachtergaele et Werner, ainsi que l’extension des idées de produits matriciels aux états de paires intriquées projetées par Verstraete et Cirac. [28, 35–38]

Avec Stephen Clark et Dieter Jaksch, j’ai développé la factorisation catégorique d’états de réseaux de tenseurs, comprenant une décomposition explicite d’états arbitraires et une construction d’universalité computationnelle AND/COPY/|−⟩. AND, COPY et les tenseurs paramétrés de rang un sont expressivement complets : tout tenseur—ou, de manière équivalente après remodelage, tout vecteur—de l’espace cible peut être représenté par un réseau de tenseurs construit à partir de ces éléments [BCJ11]. Les tenseurs AND, COPY et |−⟩ sont universels pour le calcul : ils peuvent réaliser les portes de Hadamard et de Toffoli et donc simuler tout circuit quantique [BCJ11].

Avec Ville Bergholm, j’ai également développé un calcul graphique de circuits en dimension finie comprenant des structures généralisées de Fourier, X et Z, ADD et ADD inverse, COPY et PLUS, y compris pour des systèmes de dimensions différentes. Un autre article avec Bergholm et Marco Lanzagorta donne une décomposition diagrammatique en valeurs singulières pour les états de produits matriciels. Dans ses calculs d’invariants sous transformations unitaires locales, les facteurs unitaires s’annulent et les boucles restantes de coefficients de Schmidt donnent des sommes de puissances et des entropies de Rényi. [16, 25]

L’article sur les systèmes ouverts utilise une identité diagrammatique standard, généralement appelée « équation du serpent », dans sa notation de sommation par couleurs identiques. Une dérivation de l’article est ensuite apparue sur un tableau noir dans Rick and Morty, « Rattlestar Ricklactica » (saison 4, épisode 5). Voir l’équation, son contexte et les références antérieures. [6, 29–31]

Statistiques des modèles

À partir de 2012, à l’ISI Foundation de Turin, j’ai travaillé avec des collaborateurs pour appliquer des méthodes issues des réseaux complexes aux systèmes quantiques. Ces travaux ont rapproché le modèle des marches quantiques en temps continu de la croissance de réseaux sans échelle, de la correspondance de Bianconi–Barabási entre statistiques de Bose et réseaux évolutifs, de la percolation d’intrication et des réseaux quantiques aléatoires. [39–43]

D’autres travaux précoces ont traité les liens eux-mêmes comme des ressources intriquées. Acín, Cirac et Lewenstein ont relié la distribution d’intrication à longue portée à la percolation; Perseguers, Lewenstein, Acín et Cirac ont calculé des seuils d’apparition de sous-graphes dans un modèle de réseau quantique aléatoire. [41, 42]

Dans ce contexte, des publications de ce programme ont étudié les distributions quantiques des degrés, la détection de communautés dépendante de l’état, le transport chiral et l’entropie spectrale, puis un article de synthèse a organisé plusieurs liens entre la science des réseaux et l’information quantique. Ces articles font partie des premiers travaux à cette intersection; ils ne sont pas présentés comme son fondement unique. [12, 17, 19, 26, 27]

Limites de l’espace des paramètres

Les statistiques des réseaux ont ensuite orienté mon retour à l’optimisation hamiltonienne et à l’étude des algorithmes quantiques variationnels. Les solveurs propres variationnels et le QAOA remplacent un long chemin adiabatique par des circuits réglables et une boucle d’optimisation classique, faisant de la géométrie et des statistiques de l’espace des paramètres une partie du problème computationnel.

Les ensembles aléatoires de satisfaisabilité ont mis en évidence des déficits d’accessibilité dans le QAOA : même en présence de gradients utilisables, un circuit de profondeur fixe peut exclure les états cibles. La concentration des paramètres et la saturation de l’entraînement révèlent d’autres limites provenant du modèle plutôt que de l’optimiseur. [7–9]

Inversement, nous avons établi des conditions précises d’universalité pour une classe de constructions QAOA unidimensionnelles, avec des extensions à des hamiltoniens de coût spécifiés sur des graphes et des hypergraphes, et démontré l’universalité du calcul quantique variationnel à propagation directe. Des travaux connexes relient les plateaux stériles à la localité et les changements abrupts d’entraînabilité à la profondeur des circuits. [2, 20, 22, 23]

La séparation initiale s’est finalement précisée en deux limites : l’insimulabilité classique et le calcul quantique universel tolérant aux fautes. Entre elles se trouvent des modèles structurés, restreints, bruités et entraînables dont le statut computationnel reste irrésolu.

Des sujets de recherche sélectionnés répartis entre les régimes classique, intermédiaire et quantique, séparés par deux limites courbes. Des fils fins relient la logique de spins à la non-linéarité booléenne, ainsi que le contrôle universel du QAOA à l’échantillonnage de circuits réglables. — **Diagramme conceptuel du programme.** Le schéma distingue l’insimulabilité classique de la tolérance quantique aux fautes et situe une sélection de résultats cités par rapport à ces limites.

Les publications représentées ici portent sur les modèles physiques, les langages de réseaux de tenseurs, les modèles statistiques, les réseaux complexes quantiques, l’apprentissage automatique quantique et le comportement des grands systèmes.

Des parties de ce programme sont synthétisées dans les articles de synthèse Quantum Machine Learning [10], Tensor Networks in a Nutshell [11] et Complex Networks from Classical to Quantum [12].

La liste des sources ci-dessous indique les auteurs, les revues et les liens.

Quatre questions abordées dans les travaux cités

Dans quelles conditions des états fondamentaux physiques peuvent-ils encoder la logique ou le calcul universel ? [1, 13, 14, 21, 32–34]
Comment les réseaux de tenseurs peuvent-ils servir de langages compositionnels aussi bien que de représentations ? [4, 6, 16, 28–31, 35–38]
Comment la dynamique et l’information quantiques transforment-elles les questions héritées de la science classique des réseaux ? [12, 17, 19, 26, 27, 39–43]
Quels modèles se situent entre l’insimulabilité classique et le calcul quantique tolérant aux fautes ? [2, 7, 8, 9, 23]

Tableau du programme de recherche

Le tableau organise les résultats cités, des modèles physiques aux langages de programmation puis aux propriétés émergentes. Chaque ligne se lit de gauche à droite; les numéros entre crochets renvoient à la liste des sources ci-dessous.

Modèle physique	Langage de programmation	Propriétés émergentes
Les hamiltoniens d’Ising réalisent des espaces engendrés par des prédicats booléens comme espaces fondamentaux exacts; la minimisation de l’énergie induit un treillis distributif d’espaces de solutions physiquement synthétisables [13,14,21].	L’algèbre de la minimisation incorpore des portes logiques composables et synthétise exactement des espaces fondamentaux prescrits de chaînes de bits, fournissant une solution algébrique au problème inverse de l’état fondamental d’Ising [13,14,21]	Les statistiques des modèles révèlent des déficits d’accessibilité du QAOA dans des problèmes SAT aléatoires ordonnés par densité, montrant que des limites peuvent provenir de l’espace des états accessibles plutôt que de l’optimiseur. Des travaux connexes analysent la concentration des paramètres et la saturation de l’entraînement couche par couche [7-9].
Les modèles hamiltoniens à état fondamental ZX sont QMA-complets et universels comme modèles de calcul quantique fondés sur l’énergie [1]. Ces travaux utilisent la complexité hamiltonienne comme outil prédictif pour la conception matérielle en identifiant les coupleurs à deux corps non commutatifs et à signe variable nécessaires pour passer du recuit d’Ising transverse au calcul quantique universel par état fondamental [1].	Les états d’histoire de Feynman–Kitaev à amplitudes réelles encodent le calcul quantique universel [1,49,50]. Des gadgets perturbatifs permettent l’interopérabilité ZZ/XX ↔ ZX [1] ; un gadget du quatrième ordre synthétise YY à partir de ZZ/XX après annulation complète du troisième ordre [15] ; ensemble, ces constructions donnent accès à toute chaîne de Pauli réelle [1,15]	L’accès à toute chaîne de Pauli réelle intègre les hamiltoniens de structure électronique au cadre universel de basse énergie [1,3,15]. Par ailleurs, les estimations de ressources dans le modèle à portes donnent des bornes explicites de complexité pour les calculs d’énergie moléculaire [3].
La logique de spin à l’état fondamental [13,14,21], les réseaux de tenseurs, les circuits quantiques et le calcul graphique [4,6,44] fournissent les modèles de cette partie des travaux.	Nous avons démontré des résultats d’universalité pour deux familles de tenseurs distinctes : les réseaux AND/COPY/scalaires sont expressivement complets, tandis que les réseaux AND/COPY/\|−⟩ sont universels pour le calcul quantique [4,44]. Les réécritures graphiques rendent interopérables les représentations canoniques des systèmes quantiques ouverts, permettant de passer systématiquement d’une description mathématique à l’autre [6].	L’algèbre tensorielle, et non la seule géométrie, contrôle la contractibilité : les réécritures de bialgèbre et de Hopf rendent exactement contractables les réseaux de tenseurs de jauge sur réseau pour les groupes abéliens finis, tandis que les instances de #SAT sont tractables en temps polynomial lorsque leur représentation tensorielle contient O(log n) tenseurs COPY et possède un fan-out borné polynomialement [5,24]. Des diagrammes tensoriels fermés engendrent des invariants unitaires locaux complets pour les états de produits matriciels, notamment des entropies de Rényi [25].
Un cadre opératoriel commun relie le transport en liaison forte, la mécanique stochastique et la cinétique d’action de masse, en clarifiant leurs mathématiques communes et leurs physiques distinctes [12,18] ; les distributions quantiques des degrés et la détection de communautés transforment la structure des réseaux en observables dépendant de l’état [26,27].	La rupture de la symétrie d’inversion du temps transforme les phases de boucle en langage de contrôle du transport directionnel et définit les marches quantiques chirales [17]. Le formalisme de création-annihilation et d’états cohérents fournit de nouvelles preuves de théorèmes majeurs sur les réseaux de réactions et identifie les formes de Dirichlet comme frontière stochastique-quantique [18].	L’entropie spectrale transforme la diffusion laplacienne en outils informationnels pour comparer, regrouper et inférer des réseaux [19]. Ensemble, ces cinq articles forment un corpus cohérent sur les réseaux complexes [12,17,19,26,27].
L’échantillonnage par circuits quantiques paramétrés est computationnellement universel, faisant passer les architectures variationnelles d’une classe d’ansatz heuristique à un modèle formel de calcul quantique [2]. L’article a été une APS Editors’ Suggestion et a été publié comme Letter. Une loi d’aire combinatoire pour les circuits quantiques fait de la connectivité matérielle et de la profondeur des circuits des limites structurelles de l’expressivité à faible profondeur [2].	Une classe de constructions QAOA unidimensionnelles est universelle sous des conditions précises d’interaction et de symétrie, avec des extensions à des hamiltoniens de coût spécifiés sur des graphes et des hypergraphes [23].	Les bornes sur la variance du gradient identifient la largeur du cône causal des termes de Pauli comme un contrôle structurel des plateaux stériles, reliant l’entraînabilité à la localité de la fonction de coût et à la structure de l’ansatz [22]. L’apprentissage de portes à k corps présente un seuil abrupt en profondeur : une seule couche supplémentaire peut faire passer le circuit d’un régime impossible à apprendre à un apprentissage parfait [20].

Lecture grand public

Pour une discussion générale des usages possibles des ordinateurs quantiques, voir l’article de Zeeya Merali dans Scientific American et l’article correspondant de l’ÉTS.

Pour les biographies, les photographies téléchargeables et les demandes des médias, consultez le Dossier biographique et média.

Sources et liens vers les articles

[1]Realizable Hamiltonians for universal adiabatic quantum computers J. Biamonte et P. Love Physical Review A 78, 012352 (2008). DOI : 10.1103/PhysRevA.78.012352.

[2]Universal variational quantum computation J. Biamonte Physical Review A 103, L030401 (2021), lettre. DOI : 10.1103/PhysRevA.103.L030401.

[3]Simulation of electronic structure Hamiltonians using quantum computers J. Whitfield, J. Biamonte et A. Aspuru-Guzik Molecular Physics 109, 735 (2011). DOI : 10.1080/00268976.2011.552441.

[4]Categorical tensor network states J. Biamonte, S. Clark et D. Jaksch AIP Advances 1, 042172 (2011). DOI : 10.1063/1.3672009.

[5]Tensor network contractions for #SAT J. Biamonte, J. Morton et J. Turner Journal of Statistical Physics 160, 1389–1404 (2015). DOI : 10.1007/s10955-015-1276-z.

[6]Tensor networks and graphical calculus for open quantum systems C. J. Wood, J. D. Biamonte et D. G. Cory Quantum Information & Computation 15, 759–811 (2015). DOI : 10.26421/QIC15.9-10-3.

[7]Reachability deficits in quantum approximate optimization V. Akshay, H. Philathong, M. Morales et J. Biamonte Physical Review Letters 124, 090504 (2020). DOI : 10.1103/PhysRevLett.124.090504.

[8]Parameter concentrations in quantum approximate optimization V. Akshay, D. Rabinovich, E. Campos et J. Biamonte Physical Review A 104, L010401 (2021), lettre. DOI : 10.1103/PhysRevA.104.L010401.

[9]Training saturation in layerwise quantum approximate optimisation E. Campos, D. Rabinovich, V. Akshay et J. Biamonte Physical Review A 104, L030401 (2021), lettre. DOI : 10.1103/PhysRevA.104.L030401.

[10]Quantum machine learning J. Biamonte, P. Wittek, N. Pancotti, P. Rebentrost, N. Wiebe et S. Lloyd Nature 549, 195–202 (2017). DOI : 10.1038/nature23474.

[11]Tensor Networks in a Nutshell J. Biamonte et V. Bergholm arXiv:1708.00006 (2017). DOI : 10.48550/arXiv.1708.00006.

[12]Complex networks from classical to quantum J. Biamonte, M. Faccin et M. De Domenico Communications Physics 2, 53 (2019). DOI : 10.1038/s42005-019-0152-6.

[13]Nonperturbative k-body to two-body commuting conversion Hamiltonians and embedding problem instances into Ising spins J. Biamonte Physical Review A 77, 052331 (2008). DOI : 10.1103/PhysRevA.77.052331.

[14]Ground-state spin logic J. Whitfield, M. Faccin et J. Biamonte Europhysics Letters 99, 57004 (2012). DOI : 10.1209/0295-5075/99/57004.

[15]Hamiltonian gadgets with reduced resource requirements Y. Cao, R. Babbush, J. Biamonte et S. Kais Physical Review A 91, 012315 (2015). DOI : 10.1103/PhysRevA.91.012315.

[16]Categorical quantum circuits V. Bergholm et J. Biamonte Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 44, 245304 (2011). DOI : 10.1088/1751-8113/44/24/245304.

[17]Quantum transport enhancement by time-reversal symmetry breaking Z. Zimboras, M. Faccin, Z. Kadar, J. Whitfield, B. Lanyon et J. Biamonte Scientific Reports 3, 2361 (2013). DOI : 10.1038/srep02361.

[18]Quantum Techniques in Stochastic Mechanics J. C. Baez et J. Biamonte World Scientific (2017). DOI : 10.1142/10623.

[19]Spectral entropies as information-theoretic tools for complex network comparison M. De Domenico et J. Biamonte Physical Review X 6, 041062 (2016). DOI : 10.1103/PhysRevX.6.041062.

[20]Abrupt transitions in variational quantum circuit training E. Campos, A. Nasrallah et J. Biamonte Physical Review A 103, 032607 (2021). DOI : 10.1103/PhysRevA.103.032607.

[21]On the Mathematical Structure of Quantum Models of Computation Based on Hamiltonian Minimisation J. Biamonte Habilitation de docteur ès sciences, Institut de physique et de technologie de Moscou (2022). DOI : 10.48550/arXiv.2009.10088.

[22]On barren plateaus and cost function locality in variational quantum algorithms A. V. Uvarov et J. D. Biamonte Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 54, 245301 (2021). DOI : 10.1088/1751-8121/abfac7.

[23]On the universality of the quantum approximate optimization algorithm M. E. S. Morales, J. D. Biamonte et Z. Zimboras Quantum Information Processing 19, 291 (2020). DOI : 10.1007/s11128-020-02748-9.

[24]Algebraically contractible topological tensor network states S. J. Denny, J. D. Biamonte, D. Jaksch et S. R. Clark Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 45, 015309 (2012). DOI : 10.1088/1751-8113/45/1/015309.

[25]Tensor network methods for invariant theory J. Biamonte, V. Bergholm et M. Lanzagorta Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 46, 475301 (2013). DOI : 10.1088/1751-8113/46/47/475301.

[26]Degree distribution in quantum walks on complex networks M. Faccin, T. Johnson, J. Biamonte, S. Kais et P. Migdał Physical Review X 3, 041007 (2013). DOI : 10.1103/PhysRevX.3.041007.

[27]Community detection in quantum complex networks M. Faccin, P. Migdał, T. H. Johnson, V. Bergholm et J. D. Biamonte Physical Review X 4, 041012 (2014). DOI : 10.1103/PhysRevX.4.041012.

[28]Applications of negative dimensional tensors R. Penrose Combinatorial Mathematics and Its Applications, 221–244 (1971).

[29]A categorical semantics of quantum protocols S. Abramsky et B. Coecke Proceedings of the 19th Annual IEEE Symposium on Logic in Computer Science (2004). DOI : 10.48550/arXiv.quant-ph/0402130.

[30]A survey of graphical languages for monoidal categories P. Selinger New Structures for Physics, 289–355 (2011). DOI : 10.1007/978-3-642-12821-9_4.

[31]Picturing Quantum Processes B. Coecke et A. Kissinger Cambridge University Press (2017). DOI : 10.1017/9781316219317.

[32]Quantum annealing in the transverse Ising model T. Kadowaki et H. Nishimori Physical Review E 58, 5355–5363 (1998). DOI : 10.1103/PhysRevE.58.5355.

[33]Quantum computation by adiabatic evolution E. Farhi, J. Goldstone, S. Gutmann et M. Sipser arXiv:quant-ph/0001106 (2000). DOI : 10.48550/arXiv.quant-ph/0001106.

[34]Robustness of adiabatic quantum computation A. M. Childs, E. Farhi et J. Preskill Physical Review A 65, 012322 (2001). DOI : 10.1103/PhysRevA.65.012322.

[35]Density matrix formulation for quantum renormalization groups S. R. White Physical Review Letters 69, 2863–2866 (1992). DOI : 10.1103/PhysRevLett.69.2863.

[36]Finitely correlated states on quantum spin chains M. Fannes, B. Nachtergaele et R. F. Werner Communications in Mathematical Physics 144, 443–490 (1992). DOI : 10.1007/BF02099178.

[37]Renormalization algorithms for quantum many-body systems in two and higher dimensions F. Verstraete et J. I. Cirac arXiv:cond-mat/0407066 (2004). DOI : 10.48550/arXiv.cond-mat/0407066.

[38]Matrix product states and projected entangled pair states: Concepts, symmetries, theorems J. I. Cirac, D. Pérez-García, N. Schuch et F. Verstraete Reviews of Modern Physics 93, 045003 (2021). DOI : 10.1103/RevModPhys.93.045003.

[39]Emergence of scaling in random networks A.-L. Barabási et R. Albert Science 286, 509–512 (1999). DOI : 10.1126/science.286.5439.509.

[40]Bose–Einstein condensation in complex networks G. Bianconi et A.-L. Barabási Physical Review Letters 86, 5632–5635 (2001). DOI : 10.1103/PhysRevLett.86.5632.

[41]Entanglement percolation in quantum networks A. Acín, J. I. Cirac et M. Lewenstein Nature Physics 3, 256–259 (2007). DOI : 10.1038/nphys549.

[42]Quantum random networks S. Perseguers, M. Lewenstein, A. Acín et J. I. Cirac Nature Physics 6, 539–543 (2010). DOI : 10.1038/nphys1665.

[43]Quantum computation and decision trees E. Farhi et S. Gutmann Physical Review A 58, 915–928 (1998). DOI : 10.1103/PhysRevA.58.915.

[44]A simple proof that Toffoli and Hadamard are quantum universal D. Aharonov arXiv:quant-ph/0301040 (2003). DOI : 10.48550/arXiv.quant-ph/0301040.

[45]Some Models of Quantum Computation J. Biamonte Séminaire de l’Oxford Computing Laboratory, 1^er juin 2007. Archives de l’Oxford Advanced Seminar on Informatic Structures.

[48]On the computational complexity of Ising spin glass models F. Barahona Journal of Physics A: Mathematical and General 15, 3241–3253 (1982). DOI : 10.1088/0305-4470/15/10/028.

[49]Quantum Mechanical Computers R. P. Feynman Optics News 11(2), 11–20 (1985). DOI : 10.1364/ON.11.2.000011.

[50]Classical and Quantum Computation A. Yu. Kitaev, A. H. Shen et M. N. Vyalyi Graduate Studies in Mathematics 47, American Mathematical Society (2002). DOI : 10.1090/gsm/047.