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Une histoire de recherche
L’équation du serpent : des réseaux de tenseurs à Rick and Morty
Un article avec Christopher J. Wood et David G. Cory établit une interopérabilité graphique entre les représentations de Liouville, de Choi, par matrice de processus, de Kraus et de Stinespring des systèmes quantiques ouverts. Il introduit aussi une convention de sommation à deux couleurs. Une identité diagrammatique de l’article est ensuite apparue dans une dérivation fictive du voyage temporel des serpents.
De l’article à l’écran
Une identité diagrammatique dans l’épisode
Le tableau reproduit une dérivation tirée de Tensor Networks and Graphical Calculus for Open Quantum Systems, écrit avec Christopher J. Wood et David G. Cory. L’article a d’abord paru sous forme de prépublication en 2011, puis a été publié dans Quantum Information & Computation en 2015.
En algèbre diagrammatique, une identité généralement appelée « équation du serpent » affirme qu’un fil courbé dans un sens puis replié dans l’autre redonne l’identité. Elle est standard dans les calculs graphiques compacts fermés et précède l’article sur les systèmes ouverts. L’épisode utilise le diagramme dans son explication visuelle du voyage temporel des serpents.
Contexte technique
Un traitement graphique des représentations des systèmes quantiques ouverts
La dynamique quantique ouverte peut être représentée de plusieurs manières mathématiquement équivalentes. L’article établit une interopérabilité graphique entre les représentations de Liouville, de Choi, par matrice de processus, de Kraus et de Stinespring en les exprimant sous forme de diagrammes de réseaux de tenseurs et en passant de l’une à l’autre par des opérations graphiques.
Les réseaux de tenseurs possèdent également une histoire établie en physique à plusieurs corps, par le groupe de renormalisation par matrice densité, les états de produits matriciels et les états de paires intriquées projetées. L’article n’introduit ni les réseaux de tenseurs ni l’équation du serpent. Il porte sur les relations entre des représentations standard des systèmes ouverts dans une notation graphique particulière et s’appuie sur les traditions antérieures citées ci-dessous.
- Superopérateur de Liouville
- Matrice de Choi
- Matrice de processus
- Représentation de Kraus
- Dilatation de Stinespring
Notation utilisée dans l’article
La convention de sommation à deux couleurs
L’article introduit une convention graphique de sommation à deux couleurs. Les couleurs répétées remplacent les indices symboliques répétés : des couleurs identiques indiquent au lecteur quelles composantes sont sommées sur une base commune.
Cette convention condense des expressions tensorielles denses en diagrammes directement manipulables. Dans l’équation du serpent présentée ici, les tenseurs colorés rendent visibles les indices contractés et les simplifications successives.
Résultats graphiques connexes
Trois énoncés distincts
Complétude expressive. La forme normale de Categorical Tensor Network States démontre que AND, COPY et les tenseurs paramétrés de rang un sont expressivement complets : tout tenseur—ou, après remodelage, tout vecteur—de l’espace cible peut être représenté par un réseau de tenseurs construit à partir de ces éléments. La construction s’étend aux qudits de dimension fixée. Sa forme générale peut être de taille exponentielle et n’est pas nécessairement contractable efficacement.
Universalité pour le calcul. Le même article démontre que les tenseurs AND, COPY et |−⟩ réalisent les opérations de Hadamard et de Toffoli et peuvent donc simuler tout circuit quantique. L’universalité de Hadamard et de Toffoli est établie dans la preuve d’Aharonov. Cet énoncé computationnel se distingue de la complétude expressive de la forme normale.
Circuits graphiques en dimension finie et invariants des MPS. Categorical Quantum Circuits, avec Ville Bergholm, définit un calcul graphique comprenant des structures généralisées X/Z et COPY/PLUS pour des systèmes de dimension finie, y compris de dimensions différentes. Tensor Network Methods for Invariant Theory, avec Bergholm et Marco Lanzagorta, donne une décomposition diagrammatique en valeurs singulières pour les états de produits matriciels. Dans ses calculs d’invariants sous transformations unitaires locales, les facteurs unitaires s’annulent et les diagrammes se réduisent à des boucles contenant les coefficients de Schmidt, dont l’évaluation donne des sommes de puissances et des entropies de Rényi.
Références antérieures
Pour les traditions antérieures des réseaux de tenseurs et des méthodes graphiques, voir R. Penrose, Applications of Negative Dimensional Tensors (1971) ; S. R. White, Density Matrix Formulation for Quantum Renormalization Groups (1992) ; M. Fannes, B. Nachtergaele et R. F. Werner, Finitely Correlated States on Quantum Spin Chains (1992) ; F. Verstraete et J. I. Cirac, Renormalization Algorithms for Quantum Many-Body Systems in Two and Higher Dimensions (2004) ; S. Abramsky et B. Coecke, A Categorical Semantics of Quantum Protocols (2004) ; P. Selinger, A Survey of Graphical Languages for Monoidal Categories (2011) ; B. Coecke et A. Kissinger, Picturing Quantum Processes (2017) ; et J. I. Cirac, D. Pérez-García, N. Schuch et F. Verstraete, Matrix Product States and Projected Entangled Pair States (2021).
L’article
Tensor Networks and Graphical Calculus for Open Quantum Systems
Références de contexte et travaux connexes
Pour les traditions antérieures des réseaux de tenseurs et des langages graphiques, voir R. Penrose, Applications of Negative Dimensional Tensors (1971); S. R. White, Density Matrix Formulation for Quantum Renormalization Groups (1992); M. Fannes, B. Nachtergaele et R. F. Werner, Finitely Correlated States on Quantum Spin Chains (1992); F. Verstraete et J. I. Cirac, Renormalization Algorithms for Quantum Many-Body Systems in Two and Higher Dimensions (2004); S. Abramsky et B. Coecke, A Categorical Semantics of Quantum Protocols (2004); P. Selinger, A Survey of Graphical Languages for Monoidal Categories (2011); B. Coecke et A. Kissinger, Picturing Quantum Processes (2017); et J. I. Cirac, D. Pérez-García, N. Schuch et F. Verstraete, Matrix Product States and Projected Entangled Pair States (2021).
Les travaux connexes issus de ce programme de recherche comprennent J. Biamonte, S. Clark et D. Jaksch, Categorical Tensor Network States (2011); V. Bergholm et J. Biamonte, Categorical Quantum Circuits (2011); S. J. Denny, J. D. Biamonte, D. Jaksch et S. R. Clark, Algebraically Contractible Topological Tensor Network States (2012); J. Biamonte, V. Bergholm et M. Lanzagorta, Tensor Network Methods for Invariant Theory (2013); ainsi que J. Biamonte et V. Bergholm, Tensor Networks in a Nutshell (2017).